Use a série de potências da função f(x) = arctg(x), para representar pi como a soma de uma série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a série de potências da função para representar como uma soma de uma série infinita. Isso envolve conceitos de séries de potências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função arctangente e entender como substituir valores para obter uma representação de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função . A série de Taylor para centrada em 0 é dada por:
Essa série alternada converge para quando o valor absoluto de é menor ou igual a 1.

Passo 3

Agora, sabemos que é igual a , já que o ângulo cujo arco tangente é 1 é ou radianos. Vamos substituir na série para encontrar uma representação de :
Simplificando, temos:

Passo 4

Para isolar , basta multiplicar ambos os lados da equação por 4:

Resposta

Portanto, pode ser representado como a soma infinita:

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