Use a série de potências da função
, para representar
como a soma de uma série infinita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a série de potências da função
para representar
como uma soma de uma série infinita. Isso envolve conceitos de séries de potências e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função arctangente e entender como substituir valores para obter uma representação de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função
. A série de Taylor para
centrada em 0 é dada por:
Essa série alternada converge para
quando o valor absoluto de
é menor ou igual a 1.
Passo 3
Agora, sabemos que
é igual a
, já que o ângulo cujo arco tangente é 1 é
ou
radianos. Vamos substituir
na série para encontrar uma representação de
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para isolar
, basta multiplicar ambos os lados da equação por 4:
Resposta
Portanto,
pode ser representado como a soma infinita: