Achar a solução de
Dica: Considere
e não
como variável dependente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo das equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. A dica que a gente recebeu é tratar
como a variável dependente, ou seja, pensar em
como uma função de
, ao invés do contrário.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando
como função de
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Isso nos dá:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Passo 3
Para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que aqui é 1. O fator integrante (
) é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 4
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Calculamos a integral do lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Quando
,
:
Passo 8
Substituímos
na expressão para
:
Reconhecemos que a expressão
é a definição da função cosseno hiperbólico,
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(2 pontos) Considere a função
- PROBLEMA 2
(2 pontos) As variáveise estão relacionadas pela equação . Calcule quando .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;