Achar a solução de
Dica: Considere e não como variável dependente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo das equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. A dica que a gente recebeu é tratar como a variável dependente, ou seja, pensar em como uma função de , ao invés do contrário.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando como função de . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Isso nos dá:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:

Passo 3

Para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de , que aqui é 1. O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Calculamos a integral do lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Quando , :

Passo 8

Substituímos na expressão para :
Reconhecemos que a expressão é a definição da função cosseno hiperbólico, :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

PROBLEMA 4
(2 pontos) Considere a função . a) verifique que e esboce a curva de nível ; b) calcule o gradiente de em ; c) encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
  • PROBLEMA 2
    (2 pontos) As variáveis e estão relacionadas pela equação . Calcule quando .
    a) -5
    b) -3
    c) -1
    d) 1
    e) 3 .
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e ;
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e ;