Achar a solução de
dy/dx = 1/(e^y - x), y(1) = 0
Dica: Considere x e não y como variável dependente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente precisa encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial dada:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo das equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem. A dica que a gente recebeu é tratar como a variável dependente, ou seja, pensar em como uma função de , ao invés do contrário.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando como função de . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Isso nos dá:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:

Passo 3

Para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de , que aqui é 1. O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Calculamos a integral do lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Quando , :

Passo 8

Substituímos na expressão para :
Reconhecemos que a expressão é a definição da função cosseno hiperbólico, :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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