PROBLEMA 4
(2 pontos) Considere a função
. a) verifique que
e esboce a curva de nível
; b) calcule o gradiente de
em
; c) encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
(2 pontos) Considere a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem três partes e trata de funções de duas variáveis, algo que estudamos em cálculo multivariável. A função que estamos analisando é
. Precisamos:
a) Verificar que
e desenhar a curva de nível
.
b) Calcular o gradiente de
no ponto
.
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos verificar que
. Substituindo
e
na função:
Então, está confirmado que
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a curva de nível
. A curva de nível é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
.
Essa equação representa uma curva em que, para cada valor de
, encontramos o correspondente
. É uma relação entre
e
que forma a curva de nível
.
Passo 4
Parte b) Para calcular o gradiente de
no ponto
, primeiro precisamos lembrar que o gradiente de uma função
é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, avaliando no ponto
:
Passo 5
Parte c) Para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
, usamos o gradiente. A reta tangente pode ser expressa usando a forma:
Onde
e
. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
- PROBLEMA 2
(2 pontos) As variáveise estão relacionadas pela equação . Calcule quando .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir:
Achar a solução de
Dica: Considere
e não
como variável dependente.
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;