p = m . g . h PROBLEMA 4
(2 pontos) Considere a função f(x, y) = y^5 + 2x. a) verifique que f(0,1) = 1 e esboce a curva de nível f = 1; b) calcule o gradiente de f em 0,1; c) encontre a equação da reta tangente à curva f = 1 no ponto 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem três partes e trata de funções de duas variáveis, algo que estudamos em cálculo multivariável. A função que estamos analisando é . Precisamos:
a) Verificar que e desenhar a curva de nível .
b) Calcular o gradiente de no ponto .
c) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos verificar que . Substituindo e na função:
Então, está confirmado que .

Passo 3

Agora, vamos esboçar a curva de nível . A curva de nível é o conjunto de todos os pontos que satisfazem .
Essa equação representa uma curva em que, para cada valor de , encontramos o correspondente . É uma relação entre e que forma a curva de nível .

Passo 4

Parte b) Para calcular o gradiente de no ponto , primeiro precisamos lembrar que o gradiente de uma função é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, avaliando no ponto :

Passo 5

Parte c) Para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto , usamos o gradiente. A reta tangente pode ser expressa usando a forma:
Onde e . Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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