Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas: e ;
Passo 1
Vamos entender o enunciado do exercício. Precisamos calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes superfícies:
– Este é um cilindro circular com raio 2, que se estende ao longo do eixo .
– Este é um plano inclinado.
– Este é o plano .
Para resolver esse problema, vamos utilizar o cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, já que a base do sólido é um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano em termos de :
Isso nos dá o limite superior para , enquanto o limite inferior é .
Passo 3
Como a base do sólido é um círculo definido por , é conveniente usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Vamos fazer as seguintes substituições:
Onde varia de 0 a 2 (raio do círculo) e varia de 0 a (ângulo completo).
Passo 4
Expressando em coordenadas polares, temos:
Então, o volume pode ser expresso como uma integral dupla:
Aqui, o termo representa o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
A integral de de 0 a é zero, portanto, apenas resta.