Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
x^2 + y^2 = 4, y + z = 8 e z = 0;

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Precisamos calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes superfícies:
  1. – Este é um cilindro circular com raio 2, que se estende ao longo do eixo .
  2. – Este é um plano inclinado.
  3. – Este é o plano .
Para resolver esse problema, vamos utilizar o cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, já que a base do sólido é um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano em termos de :
Isso nos dá o limite superior para , enquanto o limite inferior é .

Passo 3

Como a base do sólido é um círculo definido por , é conveniente usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Vamos fazer as seguintes substituições:
Onde varia de 0 a 2 (raio do círculo) e varia de 0 a (ângulo completo).

Passo 4

Expressando em coordenadas polares, temos:
Então, o volume pode ser expresso como uma integral dupla:
Aqui, o termo representa o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
A integral de de 0 a é zero, portanto, apenas resta.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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