• PROBLEMA 2
    (2 pontos) As variáveis x, y e z estão relacionadas pela equação yz + x ln(y) = z^2. Calcule d z / d y quando (x, y, z) = (2, 1, 1).
    a) -5
    b) -3
    c) -1
    d) 1
    e) 3 .

Passo 1

Vamos resolver um problema de derivadas implícitas. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada quando . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que nos permite encontrar a derivada de uma variável em termos de outra quando elas estão relacionadas por uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então ao derivar termos que envolvem , usamos a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar . Vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Agora, substituímos os valores dados: , , e :

Resposta

A derivada quando é 3, que corresponde à opção e).

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