Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e ;

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies e . Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam e configurar os limites de integração para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies dadas. A equação representa um cilindro com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo z. Já também é um cilindro com raio 2, mas que se estende ao longo do eixo y. A interseção desses dois cilindros cria uma forma sólida interessante conhecida como sólido de Steinmetz.

Passo 3

Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar integrais múltiplas. Vamos integrar ao longo das três dimensões x, y e z. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.

Passo 4

Observando a equação , podemos resolver para y e obter . Isso nos dá os limites inferiores e superiores para y em termos de x. Da mesma forma, da equação , resolvemos para z e temos , que são os limites para z em termos de x.

Passo 5

Agora, estabelecemos os limites para x. Como ambas as equações envolvem , o valor de x varia de -2 a 2. Portanto, nosso intervalo de integração para x é de -2 a 2.

Passo 6

Com os limites definidos, configuramos a integral tripla para calcular o volume:
Isso significa que para cada valor de x entre -2 e 2, y e z variam entre e .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro. Integrando em relação a z:
Substituímos isso na integral:

Passo 8

Agora, integramos em relação a y:
Então, a integral torna-se:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a x:
Calculando os limites:

Resposta

O volume dos sólidos é .

Exercícios relacionados

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e ;
Achar a solução de
Dica: Considere e não como variável dependente.
Seja coordenadas polares. Determine uma função harmônica definida no disco de centro e raio 1 que satisfaz
Sejam constantes e uma função contínua com derivada contínua por partes em e que satisfaz . Use separação de variáveis para resolver o problema de fronteira