Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies
e
. Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais múltiplas em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como essas superfícies se intersectam e configurar os limites de integração para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies dadas. A equação
representa um cilindro com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo z. Já
também é um cilindro com raio 2, mas que se estende ao longo do eixo y. A interseção desses dois cilindros cria uma forma sólida interessante conhecida como sólido de Steinmetz.
Passo 3
Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar integrais múltiplas. Vamos integrar ao longo das três dimensões x, y e z. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para cada variável.
Passo 4
Observando a equação
, podemos resolver para y e obter
. Isso nos dá os limites inferiores e superiores para y em termos de x. Da mesma forma, da equação
, resolvemos para z e temos
, que são os limites para z em termos de x.
Passo 5
Agora, estabelecemos os limites para x. Como ambas as equações envolvem
, o valor de x varia de -2 a 2. Portanto, nosso intervalo de integração para x é de -2 a 2.
Passo 6
Com os limites definidos, configuramos a integral tripla para calcular o volume:
Isso significa que para cada valor de x entre -2 e 2, y e z variam entre
e
.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro. Integrando em relação a z:
Substituímos isso na integral:
Passo 8
Agora, integramos em relação a y:
Então, a integral torna-se:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a x:
Calculando os limites:
Resposta
O volume dos sólidos é
.
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e
;
Achar a solução de
Dica: Considere
e não
como variável dependente.
Seja
coordenadas polares. Determine uma função harmônica
definida no disco de centro
e raio 1 que satisfaz
Sejam
constantes e
uma função contínua com derivada contínua por partes em
e que satisfaz
. Use separação de variáveis para resolver o problema de fronteira