Achar a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
;
(g) ,
.
(g)
Para calcular a integral
siga os seguintes passos.
Determine constantes e
, tais que
.
Determine constantes
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
;
Para calcular a integral
siga os seguintes passos.
Reescreva utilizando a substituição
.
Reescreva