Achar a solução geral da equação diferencial x y' + 2 y = c^x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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