Achar a solução geral da equação diferencial x y' + 2 y = c^x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

(a)
f(x) = { x + 2, se x <= -4; -x - 6, se x > -4; a = -4 }
(b)
f(x) = { 3 - 2 x, se x < 2; 3 x - 7, se x ≥ 2 } a = 2
©
f(x) = { -1, se x < 0; x - 1, se x ≥ 0 } a = 0
(d)
f(x) = { x^2 - 4, se x < 2; raiz(x - 2), se x ≥ 2; a = 2 }
(e)
f(x) = { x + 2, se x <= -4; -x - 6, se x > -4; a = -4 }
(f) f(x) = |x - 3|, a = 3;
(g) f(x) = 1 + |x + 2|, a = -2.
Para calcular a integral J=integral -sen(x)cos ^2(x)-3 cos (x) d x siga os seguintes passos.
Determine constantes A e B, tais que 1t(t-3)=At+Bt-3.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 2 cosec(x), y(pi/2) = 1;
Para calcular a integral J=integral -sen(x)cos ^2(x)-3 cos (x) d x siga os seguintes passos.
Reescreva J utilizando a substituição u=cos (x).