Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo linear. Isso significa que a gente tem que achar uma solução para a equação diferencial dada, que também satisfaz a condição inicial fornecida. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os componentes:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é a cotangente de
, e
é a cotangente complementar de
.
Passo 3
Como a equação é linear, podemos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com nossa equação, temos:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que
, então:
Como estamos trabalhando com funções trigonométricas no intervalo onde
é positiva, podemos simplificar para:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Substituímos
na solução geral:
Passo 11
Finalmente, determinamos o intervalo de validade da solução. A solução
é válida onde
, ou seja,
, onde
é um inteiro. Além disso, considerando a condição inicial
, o intervalo mais apropriado é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Válida no intervalo
.