Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 2 cosec(x), y(pi/2) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo linear. Isso significa que a gente tem que achar uma solução para a equação diferencial dada, que também satisfaz a condição inicial fornecida. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os componentes:
Aqui, é a derivada de em relação a , é a cotangente de , e é a cotangente complementar de .

Passo 3

Como a equação é linear, podemos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com nossa equação, temos:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que , então:
Como estamos trabalhando com funções trigonométricas no intervalo onde é positiva, podemos simplificar para:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que , então:

Passo 10

Substituímos na solução geral:

Passo 11

Finalmente, determinamos o intervalo de validade da solução. A solução é válida onde , ou seja, , onde é um inteiro. Além disso, considerando a condição inicial , o intervalo mais apropriado é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Válida no intervalo .

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