Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 2 cosec(x), y(pi/2) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo linear. Isso significa que a gente tem que achar uma solução para a equação diferencial dada, que também satisfaz a condição inicial fornecida. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os componentes:
Aqui, é a derivada de em relação a , é a cotangente de , e é a cotangente complementar de .

Passo 3

Como a equação é linear, podemos usar o método do fator integrante. A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é:
Comparando com nossa equação, temos:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que , então:
Como estamos trabalhando com funções trigonométricas no intervalo onde é positiva, podemos simplificar para:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que , então:

Passo 10

Substituímos na solução geral:

Passo 11

Finalmente, determinamos o intervalo de validade da solução. A solução é válida onde , ou seja, , onde é um inteiro. Além disso, considerando a condição inicial , o intervalo mais apropriado é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Válida no intervalo .

Exercícios relacionados

Achar a solução geral da equação diferencial x y' + 2 y = c^x, x > 0
(a)
f(x) = { x + 2, se x <= -4; -x - 6, se x > -4; a = -4 }
(b)
f(x) = { 3 - 2 x, se x < 2; 3 x - 7, se x ≥ 2 } a = 2
©
f(x) = { -1, se x < 0; x - 1, se x ≥ 0 } a = 0
(d)
f(x) = { x^2 - 4, se x < 2; raiz(x - 2), se x ≥ 2; a = 2 }
(e)
f(x) = { x + 2, se x <= -4; -x - 6, se x > -4; a = -4 }
(f) f(x) = |x - 3|, a = 3;
(g) f(x) = 1 + |x + 2|, a = -2.
Para calcular a integral J=integral -sen(x)cos ^2(x)-3 cos (x) d x siga os seguintes passos.
Reescreva J utilizando a substituição u=cos (x).
0,2 pt Considere as funções definidas pelas tabelas:
x 1 2 3 4 5
y 3 1 -1 -3 -5
x 1 2 3 4 5
y 6 3 2 1,5 1,2
(b) Encontre, em cada caso, as constantes que determinam a expressão algébrica da função.