Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar:
- A solução da equação homogênea associada.
- Uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que estamos ignorando o termo do lado direito (a função
) por enquanto.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Derivando, temos:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação homogênea, obtemos:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Portanto, temos dois valores para
:
Passo 6
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 9
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Combinando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 10
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos
e
devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 12
Agora, temos os valores de
e
. Portanto, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
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como restrição.
Dica: minimize a função distância
Ache
e
.
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: