Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar:
  1. A solução da equação homogênea associada.
  2. Uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que estamos ignorando o termo do lado direito (a função ) por enquanto.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Derivando, temos:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação homogênea, obtemos:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Portanto, temos dois valores para :

Passo 6

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 9

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Combinando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:

Passo 10

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos e devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 12

Agora, temos os valores de e . Portanto, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

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