Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,2] times[-1,0] : integral duplaR(x^2 y^2+x) d A

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral dupla da função sobre o retângulo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas e definir os limites de integração com base na região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Como integral duplaR (x^2 y^2 + x) , dA = integral0^2 integral-1^0 (x^2 y^2 + x) , dy , dx está definido por e , podemos configurar a integral assim:

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em relação a integral-1^0 (x^2 y^2 + x) , dy = x^2 integral-1^0 y^2 , dy + x integral-1^0 dy . Isso significa tratar como uma constante:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
x^2 integral-1^0 y^2 , dy = x^2 [ y^33 ]-1^0 = x^2 ( 0 - ( (-1)^33 ) ) = x^2 ( 13 )
x integral-1^0 dy = x [y]-1^0 = x (0 - (-1)) = x (1) = x

Passo 5

Somando os resultados das integrais internas, temos:
x^23 + x
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 ( x^23 + x ) dx = 13 integral0^2 x^2 , dx + integral0^2 x , dx de 0 a 2:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
13 integral0^2 x^2 , dx = 13 [ x^33 ]0^2 = 13 ( 83 - 0 ) = 89
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2

Resposta

Somando os resultados obtidos:
89 + 2 = 269 approx 2,89
Portanto, o valor da integral dupla é ou aproximadamente 2,89.

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