Calcule as integrais iteradas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas e volumes em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
constante. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então, a antiderivada em relação a
fica:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração para
de 1 a 3:
Simplificando cada parte:
Passo 4
Agora, vamos integrar a expressão resultante
em relação a
, com os limites de 0 a 2:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Então, a antiderivada fica:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:
Encontre o ponto da curva
mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância e use
como restrição.
Dica: minimize a função distância
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Integre a função
sobre a região triangular cujos vértices são
e
.