Calcule as integrais iteradas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas e volumes em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então, a antiderivada em relação a fica:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração para de 1 a 3:
Simplificando cada parte:

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a , com os limites de 0 a 2:
A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então, a antiderivada fica:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:
Encontre o ponto da curva mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância e use como restrição.
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Integre a função sobre a região triangular cujos vértices são e .