Calcule as integrais iteradas abaixo: integral0^2 integral1^3(x^2+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas e volumes em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral (x^2 + y) dy = x^2y + 12y^2 + C em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então, a antiderivada em relação a fica:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração para [ x^2y + 12y^2 ]1^3 = ( x^2(3) + 12(3)^2 ) - ( x^2(1) + 12(1)^2 ) de 1 a 3:
= (3x^2 + 92) - (x^2 + 12)
Simplificando cada parte:
= 3x^2 + 92 - x^2 - 12
= 2x^2 + 4

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão resultante integral0^2 (2x^2 + 4) dx em relação a [ 23x^3 + 4x ]0^2 , com os limites de 0 a 2:
A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Então, a antiderivada fica:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
( 23(2)^3 + 4(2) ) - ( 23(0)^3 + 4(0) )
Simplificando:
= ( 163 + 8 ) - (0 + 0)
= 163 + 8 = 163 + 243 = 403

Resposta

O valor da integral dupla é .

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