Encontre o ponto da curva
mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância
e use
como restrição.
Dica: minimize a função distância
Passo 1
Vamos procurar o ponto na curva
que está mais perto da origem. Esse problema faz parte da matéria de otimização na matemática. Para resolver, vamos precisar minimizar a função distância
, usando a restrição da curva
.
Passo 2
Primeiro, como a curva é dada por
, podemos substituir
na função distância. Assim, a distância fica só em função de
:
Passo 3
Para facilitar a minimização, é melhor trabalhar com o quadrado da distância. Isso porque a raiz quadrada pode complicar, mas como a função raiz é crescente, o mínimo do quadrado também será o mínimo da distância. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Passo 5
Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Passo 6
Resolvendo
, encontramos
.
Já a equação
não tem solução real, pois
sempre é positivo e não há nenhum número real que faça
.
Passo 7
Com
, substituímos na equação da curva para encontrar
:
Resposta
O ponto da curva
mais próximo da origem é
.
Exercícios relacionados
Ache
e
.
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:
Calcule as integrais iteradas abaixo: