Encontre o ponto da curva y = x^2 mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância d(x, y) = raiz(x^2 + y^2) e use y = x^2 como restrição.

Passo 1

Vamos procurar o ponto na curva que está mais perto da origem. Esse problema faz parte da matéria de otimização na matemática. Para resolver, vamos precisar minimizar a função distância , usando a restrição da curva .

Passo 2

Primeiro, como a curva é dada por , podemos substituir y na função distância. Assim, a distância fica só em função de x:

Passo 3

Para facilitar a minimização, é melhor trabalhar com o quadrado da distância. Isso porque a raiz quadrada pode complicar, mas como a função raiz é crescente, o mínimo do quadrado também será o mínimo da distância. Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de x que minimiza . Para isso, derivamos em relação a x e igualamos a zero:
Igualando a zero:

Passo 5

Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 6

Resolvendo , encontramos x = 0.
Já a equação não tem solução real, pois x^2 sempre é positivo e não há nenhum número real que faça .

Passo 7

Com x = 0, substituímos na equação da curva para encontrar y:

Resposta

O ponto da curva mais próximo da origem é .

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