Encontre o ponto da curva mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância e use como restrição.

Passo 1

Vamos procurar o ponto na curva que está mais perto da origem. Esse problema faz parte da matéria de otimização na matemática. Para resolver, vamos precisar minimizar a função distância , usando a restrição da curva .

Passo 2

Primeiro, como a curva é dada por , podemos substituir na função distância. Assim, a distância fica só em função de :

Passo 3

Para facilitar a minimização, é melhor trabalhar com o quadrado da distância. Isso porque a raiz quadrada pode complicar, mas como a função raiz é crescente, o mínimo do quadrado também será o mínimo da distância. Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de que minimiza . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Igualando a zero:

Passo 5

Podemos fatorar a equação:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 6

Resolvendo , encontramos .
Já a equação não tem solução real, pois sempre é positivo e não há nenhum número real que faça .

Passo 7

Com , substituímos na equação da curva para encontrar :

Resposta

O ponto da curva mais próximo da origem é .

Exercícios relacionados

Ache e .
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Achar a solução da geral da seguinte equação diferencial:
Calcule as integrais iteradas abaixo: