Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
e
onde
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com a equação diferencial
, onde as condições iniciais são
e
. A função
é dada por:
Vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como resolver problemas de valor inicial. Também vamos usar a técnica de transformar a equação usando a transformada de Laplace para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
e a de
é simplesmente
. Aplicando isso na nossa equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de
. Como
é uma função por partes, podemos escrevê-la como:
onde
é a função de Heaviside. A transformada de Laplace de
é
. Então:
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos:
Precisamos encontrar a transformada inversa para cada parte.
Passo 6
Vamos primeiro considerar
. Sabemos que:
Portanto, a transformada inversa é:
Passo 7
Agora, para o segundo termo
, usamos o teorema da segunda mudança (shift theorem):
onde
. Então:
Passo 8
Juntando tudo, a solução geral
é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial proposto é:
Simplificando para
:
Exercícios relacionados
Calcule:
Determine os intervalos onde a função
é crescente, decrescente e constante, em todo o seu domínio.
Encontre a inversa com os respectivos conjuntos domínio e imagem das duas funções, sendo
.