Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
y'' + y = f(t), y(0) = 0 e y'(0) = 1 onde f(t) = { 1, 0 <= t < pi / 2; 0, pi / 2 <= t < infinito }

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com a equação diferencial , onde as condições iniciais são e . A função é dada por:
Vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como resolver problemas de valor inicial. Também vamos usar a técnica de transformar a equação usando a transformada de Laplace para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é e a de é simplesmente . Aplicando isso na nossa equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de . Como é uma função por partes, podemos escrevê-la como:
onde é a função de Heaviside. A transformada de Laplace de é . Então:

Passo 4

Voltando à equação transformada:
Vamos isolar :

Passo 5

Agora, vamos separar os termos:
Precisamos encontrar a transformada inversa para cada parte.

Passo 6

Vamos primeiro considerar . Sabemos que:
Portanto, a transformada inversa é:

Passo 7

Agora, para o segundo termo , usamos o teorema da segunda mudança (shift theorem):
onde . Então:

Passo 8

Juntando tudo, a solução geral é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial proposto é:
Simplificando para :

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