Determine os intervalos onde a função f(x) = -x^2 - 5x + 6 é crescente, decrescente e constante, em todo o seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva, negativa ou zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
Calculando a derivada em relação a :

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos descobrir onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Vamos resolver:
Então, a derivada é zero quando .

Passo 4

Com base na derivada, vamos analisar os intervalos onde é positiva, negativa ou zero:
  1. Quando :
    Se é menor que , por exemplo, :
    (positivo)
  2. Quando :
    Por exemplo, :
    (negativo)
  3. Quando :

Passo 5

Agora, vamos interpretar esses resultados para saber onde a função está crescendo, decrescendo ou constante:
  • Crescente: Onde a derivada é positiva ( )
    Isso acontece quando .
  • Decrescente: Onde a derivada é negativa ( )
    Isso acontece quando .
  • Constante: Onde a derivada é zero ( )
    Isso acontece exatamente em .

Resposta

A função é:
  • Crescente no intervalo ,
  • Decrescente no intervalo ,
  • Constante em .

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