Determine os intervalos onde a função
é crescente, decrescente e constante, em todo o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo, decrescendo ou constante. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
Calculando a derivada em relação a
:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos descobrir onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Vamos resolver:
Então, a derivada é zero quando
.
Passo 4
Com base na derivada, vamos analisar os intervalos onde
é positiva, negativa ou zero:
-
Quando
: Seé menor que , por exemplo, : (positivo) -
Quando
:
Por exemplo,: (negativo) -
Quando
:
Passo 5
Agora, vamos interpretar esses resultados para saber onde a função está crescendo, decrescendo ou constante:
-
Crescente: Onde a derivada é positiva (
)
Isso acontece quando. -
Decrescente: Onde a derivada é negativa (
)
Isso acontece quando. -
Constante: Onde a derivada é zero (
)
Isso acontece exatamente em.
Resposta
A função
é:
- Crescente no intervalo
, - Decrescente no intervalo
, - Constante em
.
Exercícios relacionados
Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
e
onde
Encontre a inversa com os respectivos conjuntos domínio e imagem das duas funções, sendo
.
Calcule: