Encontre a inversa com os respectivos conjuntos domínio e imagem das duas funções, sendo f(x) = (2x + 4) / (3x + 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função inversa e os respectivos conjuntos de domínio e imagem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função racional.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a função inversa, precisamos trocar por na expressão dada e, em seguida, resolver essa equação para . Isso porque, na função inversa, o que antes era entrada vira saída e vice-versa.
Então, começamos substituindo:

Passo 3

Agora, trocamos por e por :
Nosso objetivo é isolar nessa equação para encontrar a inversa.

Passo 4

Vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :

Passo 5

Queremos isolar os termos que contêm de um lado e os demais do outro. Vamos trazer os termos com para a esquerda e os outros para a direita:

Passo 6

Agora, fatoramos no lado esquerdo da equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:

Passo 7

Portanto, a função inversa de é:

Passo 8

Agora, vamos determinar os conjuntos domínio e imagem de ambas as funções.
Para a função original :
  • Domínio: São todos os valores de que não tornam o denominador zero. Então, .
  • Imagem: Como estamos lidando com uma função racional que é contínua e cobre todos os reais exceto o valor que faz o denominador zero, a imagem será todos os reais, exceto o valor que faz igual a uma impossibilidade (que na verdade, neste caso, cobre todos os reais).
Para a função inversa :
  • Domínio: Similarmente, .
  • Imagem: A imagem da inversa será o domínio da função original, ou seja, todos os reais exceto .

Resposta

A função inversa é , com domínio e imagem .

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