Encontre a inversa com os respectivos conjuntos domínio e imagem das duas funções, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função inversa e os respectivos conjuntos de domínio e imagem da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma função racional.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a função inversa, precisamos trocar
por
na expressão dada e, em seguida, resolver essa equação para
. Isso porque, na função inversa, o que antes era entrada vira saída e vice-versa.
Então, começamos substituindo:
Passo 3
Agora, trocamos
por
e
por
:
Nosso objetivo é isolar
nessa equação para encontrar a inversa.
Passo 4
Vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Passo 5
Queremos isolar os termos que contêm
de um lado e os demais do outro. Vamos trazer os termos com
para a esquerda e os outros para a direita:
Passo 6
Agora, fatoramos
no lado esquerdo da equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:
Passo 7
Portanto, a função inversa de
é:
Passo 8
Agora, vamos determinar os conjuntos domínio e imagem de ambas as funções.
Para a função original
:
-
Domínio: São todos os valores de
que não tornam o denominador zero. Então, . -
Imagem: Como estamos lidando com uma função racional que é contínua e cobre todos os reais exceto o valor que faz o denominador zero, a imagem será todos os reais, exceto o valor que faz
igual a uma impossibilidade (que na verdade, neste caso, cobre todos os reais).
Para a função inversa
:
-
Domínio: Similarmente,
. -
Imagem: A imagem da inversa será o domínio da função original, ou seja, todos os reais exceto
.
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem
.
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e
onde
Calcule:
Determine o conjunto domínio da função
;