Achar a solução das seguintes equações, onde a, b e n são constantes. dy/dx = (x - e^(-x)) / (y + e^y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial da forma . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais separáveis, onde podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e . Isso significa rearranjar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro. Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Agora, as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende de e o lado direito depende de .

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e . Vamos integrar cada lado:

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 5

Podemos combinar as constantes de integração em uma só constante (já que é apenas uma nova constante). Assim, a equação fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:

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