Achar a solução das seguintes equações, onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial da forma
. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais separáveis, onde podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
. Isso significa rearranjar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Agora, as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende de
e o lado direito depende de
.
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
. Vamos integrar cada lado:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 5
Podemos combinar as constantes de integração em uma só constante
(já que
é apenas uma nova constante). Assim, a equação fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por: