Calcule o comprimento da curva:
γ(t) = (cos(t), t sen(t), e^(-t)), t ∈ [0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por onde varia de a . Estamos lidando com cálculo de comprimentos de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e derivar as componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por no intervalo :
Aqui, é a derivada da curva em relação a , e representa o comprimento do vetor derivada, ou seja, a sua magnitude.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da curva :
As derivadas são:
Então, a derivada da curva é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a magnitude do vetor derivada :
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento da curva:
Essa integral representa o comprimento total da curva no intervalo de a .

Resposta

O comprimento da curva no intervalo é dado por:

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