Calcule o comprimento da curva:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por onde
varia de
a
. Estamos lidando com cálculo de comprimentos de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e derivar as componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento
de uma curva parametrizada por
no intervalo
:
Aqui,
é a derivada da curva em relação a
, e
representa o comprimento do vetor derivada, ou seja, a sua magnitude.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada componente da curva
:
As derivadas são:
Então, a derivada da curva é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a magnitude do vetor derivada
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para encontrar o comprimento da curva:
Essa integral representa o comprimento total da curva
no intervalo de
a
.
Resposta
O comprimento da curva no intervalo
é dado por: