Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem uma equação diferencial dada por
e uma condição inicial
. Isso significa que quando
é 3,
vale 4. Vamos resolver essa equação usando separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde conseguimos colocar todas as
de um lado e todas as
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
e por
:
Agora, temos uma expressão onde todos os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar a solução geral. Começando pelo lado esquerdo:
Aqui, usamos a integral básica de
que resulta no logaritmo natural de
.
Passo 4
Vamos agora integrar o lado direito:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Aqui,
é uma constante que podemos simplificar.
Passo 6
Para resolver para
, vamos “esquentar” os dois lados exponenciando:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: