Achar a solução das seguintes equações, onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
, onde
e
são constantes e
. O conteúdo que vamos utilizar aqui é de equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos rearranjar os termos dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é aplicar a regra da integração de funções recíprocas.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é uma constante geral.
Passo 5
Para resolver para
, vamos “desfazer” o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas outra constante, podemos simplificar para
(considerando que
pode absorver o valor absoluto):
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.