Achar a solução das seguintes equações, onde a, b e n são constantes. y' = y / (x ln x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo , onde e são constantes e . O conteúdo que vamos utilizar aqui é de equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Podemos rearranjar os termos dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é aplicar a regra da integração de funções recíprocas.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe , então . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é uma constante geral.

Passo 5

Para resolver para , vamos “desfazer” o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Como é apenas outra constante, podemos simplificar para (considerando que pode absorver o valor absoluto):

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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