Achar a solução das seguintes equações, onde
e
são constantes.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. No nosso caso, e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
. Vamos calcular essa integração:
Passo 4
Sabemos que a integral de é
. Então, continuando o cálculo do fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para a derivada do produto:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.