Seja vec(r): I -> R^3, I um intervalo, derivável até 2 ordem. Suponha que vec(r)(t) forneça a posição, no instante t, de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade vec(v)(t) e a aceleração a(t) de P, no instante t, por: v(t) = d r/dt(t) e a(t) = d v/dt(t) = d^2 r/dt^2(t). Determine vec(v)(t) e a(t) sendo:
r(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + t * k.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos encontrar a velocidade vec(v)(t) e a aceleração a(t) de um ponto que se move no espaço. Para isso, vamos utilizar derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a posição do ponto P é dada pela função vetorial . Para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, vamos derivar cada componente de .

Passo 3

Aplicando a derivada à função vec(r)(t):
Derivando cada termo:
Portanto:

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração a(t), que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, vamos derivar cada componente de vec(v)(t):
Derivando cada termo:
Logo:

Resposta

A velocidade e a aceleração do ponto P são, respectivamente:

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