Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial aí! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e precisamos achar a função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que são separáveis, ou seja, que conseguimos separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor as partes. A equação que temos é:
Nosso objetivo é isolar
para que possamos separar as variáveis
e
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Simplificando a fração à direita, usando a identidade trigonométrica
, ficamos com:
Passo 4
Agora, a equação está na forma:
Isso é uma equação diferencial linear e também separável. Vamos separar as variáveis
e
.
Passo 5
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integral de
é
, e a integral de
é
.
Passo 7
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
. Substituindo:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: