Resolva os seguintes problemas de valor inicial. d r sen(θ) = 2 r cos(θ) d θ ; r(pi / 2) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial aí! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e precisamos achar a função que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que são separáveis, ou seja, que conseguimos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor as partes. A equação que temos é:
Nosso objetivo é isolar para que possamos separar as variáveis e .

Passo 3

Dividindo ambos os lados por , temos:
Simplificando a fração à direita, usando a identidade trigonométrica , ficamos com:

Passo 4

Agora, a equação está na forma:
Isso é uma equação diferencial linear e também separável. Vamos separar as variáveis e .

Passo 5

Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
A integral de é , e a integral de é .

Passo 7

Após integrar, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever como uma nova constante , então:

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que . Substituindo:
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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