Achar a solução das seguintes equações, onde
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve derivadas! O enunciado pede para achar a solução da equação diferencial
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente sobre equações diferenciais separáveis. Bora lá entender cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar a derivada
sozinha. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, nossa equação ficou na forma:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Agora, temos todas as expressões que envolvem
de um lado e todas as que envolvem
do outro.
Passo 5
O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Integramos:
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em
, e a do lado direito resulta em
.
Passo 6
Após integrar, temos:
onde
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 7
Para expressar
em termos de
, aplicamos a função seno em ambos os lados:
Podemos simplificar a constante
para outra constante
, já que
é arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante qualquer.