Achar a solução das seguintes equações, onde a, b e n são constantes. x * y' = (1 - y^2)^(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve derivadas! O enunciado pede para achar a solução da equação diferencial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente sobre equações diferenciais separáveis. Bora lá entender cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar a derivada sozinha. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, nossa equação ficou na forma:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 4

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Agora, temos todas as expressões que envolvem de um lado e todas as que envolvem do outro.

Passo 5

O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Integramos:
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em , e a do lado direito resulta em .

Passo 6

Após integrar, temos:
onde é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 7

Para expressar em termos de , aplicamos a função seno em ambos os lados:
Podemos simplificar a constante para outra constante , já que é arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados