Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com métodos de resolução de equações diferenciais. Precisamos manipular a equação para achar a função
que satisfaz a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar nossa análise:
Nossa missão é separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos dividir os dois lados da equação por
para isolar
:
Agora, temos
em termos de
, mas ainda está misturado. Precisamos rearranjar para separar as variáveis.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
, conseguimos separar as variáveis:
Agora, temos todas as expressões com
de um lado e com
do outro, prontos para integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. A integral esquerda é:
Já a integral direita requer um pouco mais de atenção. Sabemos que:
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja , então
. Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntando as integrais:
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 9
Finalmente, isolamos
elevando ambos os lados à potência
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Achar a solução das seguintes equações, onde
e
são constantes.
Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
.
Represente graficamente o domínio da função
dada por