Resolva os seguintes problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com métodos de resolução de equações diferenciais. Precisamos manipular a equação para achar a função que satisfaz a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar nossa análise:
Nossa missão é separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos dividir os dois lados da equação por para isolar :
Agora, temos em termos de , mas ainda está misturado. Precisamos rearranjar para separar as variáveis.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por , conseguimos separar as variáveis:
Agora, temos todas as expressões com de um lado e com do outro, prontos para integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. A integral esquerda é:
Já a integral direita requer um pouco mais de atenção. Sabemos que:
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja , então . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntando as integrais:
Onde é uma constante geral.

Passo 7

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo e :

Passo 8

Substituindo de volta na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 3 para simplificar:

Passo 9

Finalmente, isolamos elevando ambos os lados à potência :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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