Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular x0 = 0
x^2 y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1+x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução em série correspondente à maior raiz da equação indicial no ponto singular para a equação diferencial:
Para isso, vamos usar métodos de séries de potências aplicados a equações diferenciais de segunda ordem com pontos singulares regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão para aplicar a série de Frobenius. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação indicial, que nos ajuda a determinar os expoentes iniciais da série de potências. A equação indicial é dada por:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

A maior raiz é . Agora, vamos assumir uma solução em série de potências da forma:
Substituindo :

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Vamos substituir cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 8

Agora, combinamos todos os termos e igualamos a zero:
Vamos agrupar os termos com potências semelhantes:
Para :
Para :

Passo 9

Simplificando a expressão dos coeficientes:
Expandindo:
Então:

Passo 10

Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Resolvendo para :
Isso nos permite calcular os coeficientes sucessivos .

Resposta

A solução em série correspondente à maior raiz é:
onde os coeficientes são definidos pela relação de recorrência:

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