Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução em série correspondente à maior raiz da equação indicial no ponto singular
para a equação diferencial:
Para isso, vamos usar métodos de séries de potências aplicados a equações diferenciais de segunda ordem com pontos singulares regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão para aplicar a série de Frobenius. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação indicial, que nos ajuda a determinar os expoentes iniciais da série de potências. A equação indicial é dada por:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
A maior raiz é
. Agora, vamos assumir uma solução em série de potências da forma:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Vamos substituir cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 8
Agora, combinamos todos os termos e igualamos a zero:
Vamos agrupar os termos com potências semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 9
Simplificando a expressão dos coeficientes:
Expandindo:
Então:
Passo 10
Agora, temos uma relação de recorrência para os coeficientes:
Resolvendo para
:
Isso nos permite calcular os coeficientes sucessivos
.
Resposta
A solução em série correspondente à maior raiz
é:
onde os coeficientes são definidos pela relação de recorrência: