Resolver a equação de Euler
x^2 y'' - 3/2 x y' + 3/2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de Euler, que aparece em várias áreas da matemática e física. Para resolver, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre suposições de soluções para esse tipo específico de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para equações de Euler da forma geral:
a gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa encontrar. Essa suposição simplifica a equação porque quando derivamos e substituímos de volta, conseguimos uma equação algébrica para .

Passo 3

Vamos aplicar essa suposição na nossa equação. Se , então:
e
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Agora, colocando tudo junto:

Passo 5

Fatorando (que nunca é zero), a gente fica com:
Simplificando essa equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 7

Como temos duas soluções reais e distintas para , a solução geral da equação é:
onde e são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação de Euler é:

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Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto x0 = 0 (considerando a0 = 1, a1 = 0 )
(x^2 + 1) y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1 + x) y = 0
Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular x0 = 0
x^2 y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1+x) y = 0
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens: f(x, y) = (2x + 2y) / raiz(y - x).
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens: f(x, y) = e^(y / x) ln(x / y^2).