Resolver a equação de Euler
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de Euler, que aparece em várias áreas da matemática e física. Para resolver, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre suposições de soluções para esse tipo específico de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para equações de Euler da forma geral:
a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa encontrar. Essa suposição simplifica a equação porque quando derivamos
e substituímos de volta, conseguimos uma equação algébrica para
.
Passo 3
Vamos aplicar essa suposição na nossa equação. Se
, então:
e
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Agora, colocando tudo junto:
Passo 5
Fatorando
(que nunca é zero), a gente fica com:
Simplificando essa equação:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 7
Como temos duas soluções reais e distintas para
, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação de Euler é:
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