Resolver a equação de Euler
x^2 y'' - 3/2 x y' + 3/2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de Euler, que aparece em várias áreas da matemática e física. Para resolver, a gente vai precisar conhecer um pouco sobre suposições de soluções para esse tipo específico de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para equações de Euler da forma geral:
a gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa encontrar. Essa suposição simplifica a equação porque quando derivamos e substituímos de volta, conseguimos uma equação algébrica para .

Passo 3

Vamos aplicar essa suposição na nossa equação. Se , então:
e
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Agora, colocando tudo junto:

Passo 5

Fatorando (que nunca é zero), a gente fica com:
Simplificando essa equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 7

Como temos duas soluções reais e distintas para , a solução geral da equação é:
onde e são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação de Euler é:

Exercícios relacionados