Para superficie z(x, y) = cos(x^2 + y^2) achar uma EDO exata, para curvas de nivel z(x, y) = const

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, dada a superfície , encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) exata que descreva as curvas de nível onde é constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam com EDOs exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as curvas de nível são as curvas onde a função permanece constante, ou seja, , onde é uma constante. Para encontrar a EDO que descreve essas curvas, vamos derivar essa igualdade.

Passo 3

Derivando ambos os lados de em relação a , temos:
Isso representa a condição para que a variação de seja nula ao mover-se ao longo da curva de nível.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 5

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por (assumindo que ):
Essa é uma forma mais simples da EDO que estamos procurando.

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma EDO da forma é exata se:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Como , a EDO é realmente exata.

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a EDO na forma padrão:
Essa é a EDO exata que representa as curvas de nível da superfície .

Resposta

A EDO exata para as curvas de nível é:

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