Para superficie
achar uma EDO exata, para curvas de nivel
const
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, dada a superfície
, encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) exata que descreva as curvas de nível onde
é constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam com EDOs exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as curvas de nível são as curvas onde a função
permanece constante, ou seja,
, onde
é uma constante. Para encontrar a EDO que descreve essas curvas, vamos derivar essa igualdade.
Passo 3
Derivando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Isso representa a condição para que a variação de
seja nula ao mover-se ao longo da curva de nível.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Essa é uma forma mais simples da EDO que estamos procurando.
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma EDO da forma
é exata se:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Como
, a EDO é realmente exata.
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a EDO na forma padrão:
Essa é a EDO exata que representa as curvas de nível da superfície
.
Resposta
A EDO exata para as curvas de nível
é: