Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto x0 = 0 (considerando a0 = 1, a1 = 0 )
(x^2 + 1) y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1 + x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências em torno de . O enunciado nos dá que e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, derivadas de séries e como aplicar esses conceitos para transformar a EDO em uma série que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Dado que e , nossa série começa assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na EDO original:
Vamos expandir cada termo:

Passo 5

Agora, substituímos as séries nas expressões acima:

Passo 6

Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo índice para combinar termos semelhantes. Vamos mudar o índice das séries de modo que todos tenham :
  1. permanece como está.
  2. permanece como está.
  3. permanece como está.

Passo 7

Agora, juntamos todas as séries na EDO:

Passo 8

Para que a igualdade seja válida para todos os , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, agrupamos os termos correspondentes a cada :
Simplificando os termos:

Passo 9

Isolamos :
Simplificando a expressão no numerador:
Então:

Passo 10

Agora, usamos os valores iniciais e para encontrar os próximos coeficientes.
Para :
(Note que porque não existe.)
Para :
Continuamos esse processo para encontrar os próximos coeficientes conforme necessário.

Resposta

A solução da EDO em série de potências em torno de é:
Os coeficientes seguintes podem ser calculados usando a relação de recorrência encontrada.

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