Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto
(considerando
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências em torno de
. O enunciado nos dá que
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, derivadas de séries e como aplicar esses conceitos para transformar a EDO em uma série que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Dado que
e
, nossa série começa assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na EDO original:
Vamos expandir cada termo:
Passo 5
Agora, substituímos as séries nas expressões acima:
Passo 6
Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo índice para combinar termos semelhantes. Vamos mudar o índice das séries de modo que todos tenham
:
-
permanece como está. -
-
permanece como está. -
permanece como está. -
Passo 7
Agora, juntamos todas as séries na EDO:
Passo 8
Para que a igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, agrupamos os termos correspondentes a cada
:
Simplificando os termos:
Passo 9
Isolamos
:
Simplificando a expressão no numerador:
Então:
Passo 10
Agora, usamos os valores iniciais
e
para encontrar os próximos coeficientes.
Para
:
(Note que
porque não existe.)
Para
:
Continuamos esse processo para encontrar os próximos coeficientes conforme necessário.
Resposta
A solução da EDO em série de potências em torno de
é:
Os coeficientes seguintes podem ser calculados usando a relação de recorrência encontrada.
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.