Um tanque é enchido com um fluxo constante de água a 1 m^3/s de cima e simultaneamente esvaziado do buraco por baixo a uma velocidade de sigma * raiz(2 * g * h) * m^3 / s. Após 15 minutos, o nível da água h(t) atinge 1 m. A seção transversal do tanque é constante, 2 m^2. A) Determina EDO que descreve comportamento do nível da água, encontre uma solução geral. B)Encontre o nível máximo de água possível no tanque (aproximadamente). C) Encontre o tempo necessario para atingir o nível máximo.
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque sendo enchido com água a uma taxa constante de e, ao mesmo tempo, esvaziado por baixo com uma velocidade de . Sabemos que após 15 minutos, o nível da água chega a . A área da seção transversal do tanque é constante e igual a .
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDO) para modelar o comportamento do nível da água, e também entender como as taxas de entrada e saída de água afetam esse nível.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve a variação do nível da água no tanque ao longo do tempo. A taxa de variação do volume de água no tanque é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída.
A taxa de entrada é constante:
A taxa de saída depende do nível da água:
íí
O volume de água no tanque é relacionado ao nível da água pela área da seção transversal :
A taxa de variação do volume é, portanto:
Igualando a taxa de variação do volume à diferença entre entrada e saída:
í

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma EDO de primeira ordem:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do nível da água no tanque.

Passo 4

Para encontrar a solução geral dessa EDO, vamos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados. A parte esquerda da equação pode ser um pouco complicada de integrar, mas assumindo valores conhecidos para e , poderíamos resolver numericamente. No entanto, para fins gerais, a solução implica em integrar e encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Sem valores específicos para e , não podemos expressar a solução explícita em termos fechados. Portanto, a solução geral da EDO é dada implicitamente através da integral:

Resposta

A Equação Diferencial Ordinária que descreve o comportamento do nível da água é:
A solução geral dessa EDO é obtida através da integração das variáveis separáveis:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para superficie z(x, y) = cos(x^2 + y^2) achar uma EDO exata, para curvas de nivel z(x, y) = const
d/y = y(y-1)(y-2)
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.
Achar a solução em série correspondente a maior raiz de equação indicial num ponto singular x0 = 0
x^2 y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1+x) y = 0
Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto x0 = 0 (considerando a0 = 1, a1 = 0 )
(x^2 + 1) y'' - 3/2 x y' + 3/2 (1 + x) y = 0