Um tanque é enchido com um fluxo constante de água a
de cima e simultaneamente esvaziado do buraco por baixo a uma velocidade de
. Após 15 minutos, o nível da água
atinge
. A seção transversal do tanque é constante,
. A) Determina EDO que descreve comportamento do nível da água, encontre uma solução geral. B)Encontre o nível máximo de água possível no tanque (aproximadamente). C) Encontre o tempo necessario para atingir o nível máximo.
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque sendo enchido com água a uma taxa constante de
e, ao mesmo tempo, esvaziado por baixo com uma velocidade de
. Sabemos que após 15 minutos, o nível da água
chega a
. A área da seção transversal do tanque é constante e igual a
.
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDO) para modelar o comportamento do nível da água, e também entender como as taxas de entrada e saída de água afetam esse nível.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a equação que descreve a variação do nível da água no tanque ao longo do tempo. A taxa de variação do volume de água no tanque é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída.
A taxa de entrada é constante:
A taxa de saída depende do nível da água:
O volume de água no tanque é relacionado ao nível da água
pela área da seção transversal
:
A taxa de variação do volume é, portanto:
Igualando a taxa de variação do volume à diferença entre entrada e saída:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para obter uma EDO de primeira ordem:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Essa é a equação diferencial que descreve o comportamento do nível da água no tanque.
Passo 4
Para encontrar a solução geral dessa EDO, vamos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A parte esquerda da equação pode ser um pouco complicada de integrar, mas assumindo valores conhecidos para
e
, poderíamos resolver numericamente. No entanto, para fins gerais, a solução implica em integrar e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Sem valores específicos para
e
, não podemos expressar a solução explícita em termos fechados. Portanto, a solução geral da EDO é dada implicitamente através da integral:
Resposta
A Equação Diferencial Ordinária que descreve o comportamento do nível da água é:
A solução geral dessa EDO é obtida através da integração das variáveis separáveis:
onde
é a constante de integração.
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