Achar a solução em série de potências da equação diferencial ordinária que satisfaz as condições iniciais 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma solução em série de potências para a equação diferencial , com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve expressar como uma soma infinita de termos com potências de . Vamos precisar conhecer como derivar séries e substituir na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Primeiro, multiplicamos por :
Substituindo as séries:
Depois, multiplicamos por :
E multiplicamos por :

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as partes substituídas na equação:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todos estejam em termos de .

Passo 6

Vamos reescrever as séries com o índice :
Para o termo , fazemos uma mudança de variável :
Renomeando de volta para :
Agora, todas as séries estão em termos de :

Passo 7

Vamos alinhar os índices para que todos comecem em :
Observamos que no primeiro termo, para e , os coeficientes serão zero, então podemos começar a soma a partir de .
Para o último termo , fazemos uma mudança de índice :
Agora, reescrevemos todas as séries:

Passo 8

Agora, combinamos todos os termos da soma para a mesma potência de :
Podemos combinar os termos que têm :
Para :
Simplificando os coeficientes:

Passo 9

Agora, isolamos para obter a relação de recorrência:
Essa relação nos permite calcular os coeficientes em termos dos anteriores.

Passo 10

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e :
Dado que , temos:
E para :

Passo 11

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para :
Como não existe e consideramos zero, temos:
Para :
Continuamos assim para encontrar mais coeficientes se necessário.

Resposta

A solução em série de potências da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais e , é:
Os coeficientes seguintes podem ser encontrados usando a relação de recorrência:
Isso nos permite construir a série completa termo a termo.

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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas! ;
Calcule o , onde
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações: .