Achar a solução em série de potências da equação diferencial ordinária
que satisfaz as condições iniciais
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma solução em série de potências para a equação diferencial
, com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar o método de séries de potências, que envolve expressar
como uma soma infinita de termos com potências de
. Vamos precisar conhecer como derivar séries e substituir na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Substituindo as séries:
Depois, multiplicamos
por
:
E multiplicamos
por
:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as partes substituídas na equação:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todos estejam em termos de
.
Passo 6
Vamos reescrever as séries com o índice
:
Para o termo
, fazemos uma mudança de variável
:
Renomeando
de volta para
:
Agora, todas as séries estão em termos de
:
Passo 7
Vamos alinhar os índices para que todos comecem em
:
Observamos que no primeiro termo, para
e
, os coeficientes serão zero, então podemos começar a soma a partir de
.
Para o último termo
, fazemos uma mudança de índice
:
Agora, reescrevemos todas as séries:
Passo 8
Agora, combinamos todos os termos da soma para a mesma potência de
:
Podemos combinar os termos que têm
:
Para
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Agora, isolamos
para obter a relação de recorrência:
Essa relação nos permite calcular os coeficientes
em termos dos anteriores.
Passo 10
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
:
Dado que
, temos:
E para
:
Passo 11
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para
:
Como
não existe e consideramos zero, temos:
Para
:
Continuamos assim para encontrar mais coeficientes se necessário.
Resposta
A solução em série de potências da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais
e
, é:
Os coeficientes seguintes podem ser encontrados usando a relação de recorrência:
Isso nos permite construir a série completa termo a termo.
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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
;
Calcule o
, onde
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações:
.