Achar a solução em série de potências de da equação de Airy:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução em série de potências para a equação de Airy:
Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar saber como assumir uma solução em série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda dessa série para substituir na equação de Airy.
A derivada primeira é:
E a derivada segunda é:

Passo 4

Substituindo e na equação de Airy:
Vamos simplificar cada termo para facilitar a comparação.

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que ambas estejam em termos de :
Para o primeiro termo, faça a substituição :
Para o segundo termo, multiplicamos pela série de :

Passo 6

Agora, reescrevemos a equação com os índices ajustados:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero, temos:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes . Observando a equação acima, podemos escrever:
Isso nos mostra que cada coeficiente depende do coeficiente três posições antes.

Passo 9

Para determinar todos os coeficientes, precisamos de condições iniciais. Como estamos expandindo em torno de , geralmente escolhemos e como parâmetros arbitrários (já que são os termos livres da série).
Então, temos:
  • é arbitrário.
  • é arbitrário.
  • (como encontrado anteriormente).
  • E para , .

Passo 10

Com essa relação de recorrência, podemos escrever a série de potências para :
Isso mostra que a solução geral é uma combinação de duas séries, uma com termos de potências múltiplas de 3 começando em e outra começando em .

Resposta

A solução em série de potências da equação de Airy é dada por:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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