Achar a solução em série de potências de
da equação de Airy:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução em série de potências para a equação de Airy:
Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente sobre séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar saber como assumir uma solução em série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda dessa série para substituir na equação de Airy.
A derivada primeira é:
E a derivada segunda é:
Passo 4
Substituindo
e
na equação de Airy:
Vamos simplificar cada termo para facilitar a comparação.
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que ambas estejam em termos de
:
Para o primeiro termo, faça a substituição
:
Para o segundo termo, multiplicamos
pela série de
:
Passo 6
Agora, reescrevemos a equação com os índices ajustados:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero, temos:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
. Observando a equação acima, podemos escrever:
Isso nos mostra que cada coeficiente depende do coeficiente três posições antes.
Passo 9
Para determinar todos os coeficientes, precisamos de condições iniciais. Como estamos expandindo em torno de
, geralmente escolhemos
e
como parâmetros arbitrários (já que são os termos livres da série).
Então, temos:
-
é arbitrário. -
é arbitrário. -
(como encontrado anteriormente). - E para
, .
Passo 10
Com essa relação de recorrência, podemos escrever a série de potências para
:
Isso mostra que a solução geral é uma combinação de duas séries, uma com termos de potências múltiplas de 3 começando em
e outra começando em
.
Resposta
A solução em série de potências da equação de Airy é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
(a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera
e por baixo pelo cone
, onde
, é
Calcule a integral de
sobre o sólido que está acima do plano
e abaixo do cone
e que seja interior ao cilindro
e exterior ao cilindro
. (Resp.:
.)
Considere a transformação
definida por
(a) Determine a imagem
no plano
da região
no plano
limitada pelas retas
e
.
Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial: