(a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera e por baixo pelo cone , onde , é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sólido que é limitado por uma esfera e por um cone. A esfera está definida pela equação e o cone pela equação , onde . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar saber como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar os limites de integração para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, a posição de um ponto é dada por três coordenadas: (a distância radial do ponto ao eixo ), (o ângulo ao redor do eixo ) e (a altura do ponto). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E a expressão para o volume infinitesimal em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
: O varia da superfície do cone até a superfície da esfera. Ou seja, de até .
: Precisamos encontrar até onde o cone e a esfera se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Elevando ao quadrado:
Sabemos que , então:
Portanto, varia de a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
Resolvendo cada parte:
Para , fazemos a substituição , então . A integral se torna:
Avaliando de a :
Pois e .
Para :
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais de na expressão do volume: