(a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera e por baixo pelo cone , onde , é

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sólido que é limitado por uma esfera e por um cone. A esfera está definida pela equação e o cone pela equação , onde . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar saber como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar os limites de integração para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, a posição de um ponto é dada por três coordenadas: (a distância radial do ponto ao eixo ), (o ângulo ao redor do eixo ) e (a altura do ponto). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E a expressão para o volume infinitesimal em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para , e .
  • : Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
  • : O varia da superfície do cone até a superfície da esfera. Ou seja, de até .
  • : Precisamos encontrar até onde o cone e a esfera se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Elevando ao quadrado:
Sabemos que , então:
Portanto, varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a . Vamos separar a integral em duas partes:
Resolvendo cada parte:
  1. Para , fazemos a substituição , então . A integral se torna:
Avaliando de a :
Pois e .
  1. Para :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais de na expressão do volume:
Simplificando:
Note que , então:
Factorizando :
Porque .

Passo 8

Agora, a integral simplificada fica:
Calculando a integral de :
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é .

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Calcule a integral de sobre o sólido que está acima do plano e abaixo do cone e que seja interior ao cilindro e exterior ao cilindro . (Resp.: .)
Prove as seguintes questões com base em teoremas de cálculo 1 e cálculo 2: Demonstre que a soma dos limites é igual ao limite da soma para funções de duas variáveis reais cujo limite existe.
Achar a solução em série de potências de da equação de Airy:
Considere a transformação definida por
(a) Determine a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas e .