Calcule a integral de sobre o sólido que está acima do plano e abaixo do cone e que seja interior ao cilindro e exterior ao cilindro . (Resp.: .)
Passo 1
Vamos calcular a integral da função sobre um sólido que está acima do plano e abaixo do cone . Além disso, o sólido está dentro do cilindro e fora do cilindro . Para resolver esse problema, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com formas circulares como cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo , e é o ângulo em torno do eixo .
Passo 3
Agora, vamos reescrever as superfícies que delimitam o sólido em coordenadas cilíndricas:
O cilindro fica .
O cilindro fica .
O cone fica .
O plano é apenas .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
varia de a porque estamos entre os cilindros de raio 1 e 3.
varia de (plano ) até (o cone).
Passo 5
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :