Calcule a integral de sobre o sólido que está acima do plano e abaixo do cone e que seja interior ao cilindro e exterior ao cilindro . (Resp.: .)

Passo 1

Vamos calcular a integral da função sobre um sólido que está acima do plano e abaixo do cone . Além disso, o sólido está dentro do cilindro e fora do cilindro . Para resolver esse problema, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam o trabalho com formas circulares como cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo , e é o ângulo em torno do eixo .

Passo 3

Agora, vamos reescrever as superfícies que delimitam o sólido em coordenadas cilíndricas:
  • O cilindro fica .
  • O cilindro fica .
  • O cone fica .
  • O plano é apenas .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • varia de a porque estamos entre os cilindros de raio 1 e 3.
  • varia de (plano ) até (o cone).

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

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