Considere a transformação T definida por
x = u + v e y = v - u^2
(a) Determine a imagem D no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u = 0, v = 0 e u + v = 2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação que relaciona as coordenadas e com e através das equações:
O exercício pede pra gente encontrar a imagem no plano da região no plano que é limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação mapeia cada ponto e cada fronteira dessa região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano . Ela é limitada por três retas:
  1. – que é o eixo .
  2. – que é o eixo .
  3. – uma reta que corta os eixos e nos pontos e .
Então, é um triângulo com vértices nesses três pontos.

Passo 3

Agora, vamos ver como cada uma dessas retas é transformada pela :
  • Para : Substituindo nas equações de , temos:
    Então, nessa reta, . Isso significa que a imagem dessa reta no plano é a linha onde iguala .
  • Para : Substituindo , temos:
    Aqui, . Então, a imagem dessa reta é uma parábola que abre para baixo.
  • Para : Podemos resolver e substituir nas equações de :
    Aqui, é uma reta vertical no plano , e , que descreve como varia ao longo dessa reta.

Passo 4

Com as imagens das retas mapeadas, vamos descrever a região no plano :
  • A reta vai de até .
  • A parábola vai de até .
  • A reta vertical conecta esses dois pontos na imagem.
Então, é uma região delimitada pela reta , pela parábola e pela reta vertical .

Resposta

A imagem no plano da região é a área limitada pela reta , pela parábola e pela reta vertical .

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