Considere a transformação
definida por
(a) Determine a imagem
no plano
da região
no plano
limitada pelas retas
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação
que relaciona as coordenadas
e
com
e
através das equações:
O exercício pede pra gente encontrar a imagem
no plano
da região
no plano
que é limitada pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação
mapeia cada ponto e cada fronteira dessa região
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
no plano
. Ela é limitada por três retas:
-
– que é o eixo . -
– que é o eixo . -
– uma reta que corta os eixos e nos pontos e .
Então,
é um triângulo com vértices nesses três pontos.
Passo 3
Agora, vamos ver como cada uma dessas retas é transformada pela
:
-
Para
: Substituindo nas equações de , temos: Então, nessa reta,. Isso significa que a imagem dessa reta no plano é a linha onde iguala . -
Para
: Substituindo , temos: Aqui,. Então, a imagem dessa reta é uma parábola que abre para baixo. -
Para
: Podemos resolver e substituir nas equações de : Aqui,é uma reta vertical no plano , e , que descreve como varia ao longo dessa reta.
Passo 4
Com as imagens das retas mapeadas, vamos descrever a região
no plano
:
- A reta
vai de até . - A parábola
vai de até . - A reta vertical
conecta esses dois pontos na imagem.
Então,
é uma região delimitada pela reta
, pela parábola
e pela reta vertical
.
Resposta
A imagem
no plano
da região
é a área limitada pela reta
, pela parábola
e pela reta vertical
.
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, onde
, é
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