Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
y'' + y = sen(2t), y(0) = 2 e y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace, que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Agora, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para cada termo.

Passo 3

Sabemos que:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Vamos agrupar os termos com :
Agora, isolamos :

Passo 6

Para simplificar, vamos decompôr a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Expandindo e agrupando termos:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,

Passo 8

Substituindo os valores de e na decomposição:
Agora, substituímos de volta na expressão de :

Passo 9

Vamos separar os termos:
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:

Passo 11

Somando tudo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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