Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace, que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Agora, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para cada termo.
Passo 3
Sabemos que:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para simplificar, vamos decompôr a fração
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Expandindo e agrupando termos:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Passo 8
Substituindo os valores de
e
na decomposição:
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Passo 9
Vamos separar os termos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Passo 11
Somando tudo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: