Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. (x^2 - 1) y' = x y - x

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar as soluções gerais dessa equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a técnica de fator integrante, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Isso pode ser reescrito como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral se torna:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' = 2y/x + x^2 e^x
y' cos^2(t) y - 1 = 0, y(0) = 5 Res.: y = 1 + 4 e^(-tan(t))
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - (1 + 3 x^(-1)) y = x + 2 para y(1) = e - 1
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. x y' + 2 y = e^(x^2)