Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. (x^2 - 1) y' = x y - x

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar as soluções gerais dessa equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a técnica de fator integrante, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é . Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Isso pode ser reescrito como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral se torna:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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