Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar as soluções gerais dessa equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a técnica de fator integrante, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é
. Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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para
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