Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. x y' + 2 y = e^(x^2)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear: . Dividindo os dois lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos reescrever:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Fazendo a substituição , , temos:
Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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integral0^1 integral0^x exp (x^2) d y d x