Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear:
. Dividindo os dois lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos reescrever:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.