Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' = 2y/x + x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares e encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de identificar os termos. Queremos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
No nosso caso, temos:
Aqui, e . Essa forma nos ajuda a identificar que podemos usar o método do fator integrante para resolver a equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada de :

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Podemos distribuir :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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