Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem que envolve a derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares e encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique mais fácil de identificar os termos. Queremos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
. Essa forma nos ajuda a identificar que podemos usar o método do fator integrante para resolver a equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função
que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada de
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Podemos distribuir
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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