Res.:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial dada por:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos
. A equação original é:
Adicionando 1 aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando a separação de variáveis. Vamos escrever
como
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Passo 4
Agora, integraremos ambos os lados para encontrar
. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as duas integrais, temos:
Onde
é uma nova constante de integração. Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados:
No entanto, para simplificar, podemos reescrever a constante
como apenas
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Quando
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo a constante
de volta na expressão para
:
Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro da raiz:
Para chegar à forma apresentada na resposta, manipulamos a expressão para obter:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.