y' cos^2(t) y - 1 = 0, y(0) = 5 Res.: y = 1 + 4 e^(-tan(t))

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial dada por:
com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos . A equação original é:
Adicionando 1 aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando a separação de variáveis. Vamos escrever como :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 4

Agora, integraremos ambos os lados para encontrar . A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as duas integrais, temos:
Onde é uma nova constante de integração. Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por 2:
Tomamos a raiz quadrada de ambos os lados:
No entanto, para simplificar, podemos reescrever a constante como apenas :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Quando :
Sabemos que , então:

Passo 7

Substituindo a constante de volta na expressão para :
Podemos simplificar ainda mais a expressão dentro da raiz:
Para chegar à forma apresentada na resposta, manipulamos a expressão para obter:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 3y = e^(2x) + 6
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' = 2y/x + x^2 e^x
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. (x^2 - 1) y' = x y - x