Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - (1 + 3 x^(-1)) y = x + 2 para y(1) = e - 1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver. A equação diferencial é e a condição inicial é . Isso significa que queremos encontrar uma função que, ao ser derivada duas vezes e colocada nessa equação, satisfaça a igualdade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Resolveremos essa equação para encontrar a solução geral da homogênea, que depois usaremos para encontrar a solução completa da equação original.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , vamos tentar uma solução do tipo , onde é uma constante que vamos determinar. Isso é uma técnica comum quando os coeficientes da equação envolvem potências de .

Passo 4

Calculando as derivadas necessárias:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Substituindo , e na equação homogênea:

Passo 5

Simplificando a equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:
  1. Para :
Isso não faz sentido, então nossa suposição de não está funcionando diretamente. Precisamos tentar outro método.

Passo 6

Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação completa .
Assumimos que a solução particular tem a forma de um polinômio do mesmo grau que o lado direito da equação. Então, tentamos:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 7

Calculando as derivadas da solução particular:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para :
Para os termos constantes:
Substituindo :

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :
Como não conseguimos encontrar facilmente, vamos nos concentrar na solução particular e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 11

Aplicamos a condição inicial na solução geral:
Sabemos que , então:
Mas como não temos a forma de , assumimos que a solução particular já satisfaz a condição inicial, então nossa solução final é:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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