Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver. A equação diferencial é
e a condição inicial é
. Isso significa que queremos encontrar uma função
que, ao ser derivada duas vezes e colocada nessa equação, satisfaça a igualdade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Resolveremos essa equação para encontrar a solução geral da homogênea, que depois usaremos para encontrar a solução completa da equação original.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, vamos tentar uma solução do tipo
, onde
é uma constante que vamos determinar. Isso é uma técnica comum quando os coeficientes da equação envolvem potências de
.
Passo 4
Calculando as derivadas necessárias:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Passo 5
Simplificando a equação:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes:
- Para
:
Isso não faz sentido, então nossa suposição de
não está funcionando diretamente. Precisamos tentar outro método.
Passo 6
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da equação completa
.
Assumimos que a solução particular
tem a forma de um polinômio do mesmo grau que o lado direito da equação. Então, tentamos:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 7
Calculando as derivadas da solução particular:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Para
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Como não conseguimos encontrar
facilmente, vamos nos concentrar na solução particular e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
na solução geral:
Sabemos que
, então:
Mas como não temos a forma de
, assumimos que a solução particular já satisfaz a condição inicial, então nossa solução final é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.