Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Infelizmente, essa equação não tem solução de forma simples usando funções elementares, então vamos focar na parte particular da equação completa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular
tem a forma de um polinômio. Tentamos uma solução do tipo:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituímos
na equação:
Simplificando:
Isso nos dá:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Como não resolvemos a homogênea completamente, vamos considerar apenas a solução particular para satisfazer a condição inicial dada.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
na solução particular:
Isso não faz sentido, então precisamos considerar a solução homogênea. Vamos assumir que a solução homogênea
é zero (já que não temos informações adicionais), então:
Mas como
, ajustamos a solução particular adicionando a constante necessária:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.