Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - x^3 * y = -4 * x^3 para y(0) = 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Infelizmente, essa equação não tem solução de forma simples usando funções elementares, então vamos focar na parte particular da equação completa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tem a forma de um polinômio. Tentamos uma solução do tipo:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituímos na equação:
Simplificando:
Isso nos dá:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Como não resolvemos a homogênea completamente, vamos considerar apenas a solução particular para satisfazer a condição inicial dada.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial na solução particular:
Isso não faz sentido, então precisamos considerar a solução homogênea. Vamos assumir que a solução homogênea é zero (já que não temos informações adicionais), então:
Mas como , ajustamos a solução particular adicionando a constante necessária:
Aplicando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. x y' + 2 y = e^(x^2)
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - (1 + 3 x^(-1)) y = x + 2 para y(1) = e - 1
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x exp (x^2) d y d x