Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x exp (x^2) d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A tarefa é calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^x e^x^2, dy, dx
Isso envolve entender integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões específicas do plano XY. Vamos precisar identificar a região de integração e depois resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região onde vamos integrar. Os limites de integração dizem que:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de 0 a x
Isso forma um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Visualizar essa região ajuda a entender melhor os limites da nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integral0^x e^x^2, dy
Perceba que e^{x²} não depende de y, então ela pode sair da integral:
e^x^2 integral0^x dy
A integral de dy de 0 a x é simplesmente x, então:
e^x^2 cdot x = x e^x^2
Nossa integral agora fica:
integral0^1 x e^x^2, dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
u = x^2
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 2x, dx
Queremos expressar x dx em termos de du:
x, dx = du2
Substituindo na integral:
integral0^1 x e^x^2, dx = 12 integral0^1 e^u, du

Passo 5

Agora, integrar e^{u} é bem simples:
12 integral0^1 e^u, du = 12 [ e^u ]0^1
Calculando os limites:
12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)

Resposta

A integral iterada vale dfrace - 12.

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