Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A tarefa é calcular a integral dupla:
Isso envolve entender integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões específicas do plano XY. Vamos precisar identificar a região de integração e depois resolver a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar ou imaginar a região onde vamos integrar. Os limites de integração dizem que:
- x varia de 0 a 1
- Para cada x, y varia de 0 a x
Isso forma um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Visualizar essa região ajuda a entender melhor os limites da nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
Perceba que e^{x²} não depende de y, então ela pode sair da integral:
A integral de dy de 0 a x é simplesmente x, então:
Nossa integral agora fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Então, a derivada de u em relação a x é:
Queremos expressar x dx em termos de du:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integrar e^{u} é bem simples:
Calculando os limites:
Resposta
A integral iterada vale
.
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para