Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial desse tipo aqui:
. Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão das equações lineares:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Curiosamente, voltamos à equação original. Mas com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Marque abaixo a Equação Diferencial de
ordem que é separável.
a) ;
a)
Resolva o PVI:
.