Res.:
Passo 1
Beleza! A gente tem a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral que envolva tanto a parte homogênea quanto a particular da equação. Vamos usar o método do fator integrante para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A verdade é que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, graças ao fator integrante.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Simplificando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula padrão para integrais desse tipo. O resultado é:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Marque abaixo a Equação Diferencial de
ordem que é separável.
a) ;
a)
Resolva o PVI:
.