y' + y/t = 3t + 4 Res.: y = t^2 + 2t + C/t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão , onde:

Passo 3

Agora, a gente calcula o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Com o fator integrante , vamos multiplicar toda a equação original por ele:
Simplificando:

Passo 5

A equação multiplicada pelo fator integrante fica:
Isso ocorre porque .

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
Então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - y = 1 - x
y' + 2 t y = t y^2
Marque abaixo a Equação Diferencial de 1^a ordem que é separável.
a) dy/dx = (x^3 - y) / (2x + cos(y));
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. x y' + y = 2 x