Resolva o PVI: x' + x * y = 1 - y, y(1) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial . Aqui, representa a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para destacar que é uma equação diferencial linear. Temos:
Essa forma mostra que a equação é linear em e nos permite identificar os coeficientes para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

O método do fator integrante nos ajuda a resolver equações diferenciais lineares. A gente calcula o fator integrante usando a fórmula:
Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 5

A integração do lado direito pode ser feita por partes ou substituição. Vamos usar substituição:
Deixe , então .
A integral fica:
Resolvendo e rearranjando, encontramos a expressão para . Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .

Resposta

A solução do PVI é:
Com a condição inicial , determinamos o valor de e finalizamos a expressão de .

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