Resolva o PVI:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial
e a condição inicial
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para destacar que é uma equação diferencial linear. Temos:
Essa forma mostra que a equação é linear em
e nos permite identificar os coeficientes para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
O método do fator integrante nos ajuda a resolver equações diferenciais lineares. A gente calcula o fator integrante
usando a fórmula:
Aqui,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
A integração do lado direito pode ser feita por partes ou substituição. Vamos usar substituição:
Deixe , então
.
A integral fica:
Deixe
A integral fica:
Resolvendo e rearranjando, encontramos a expressão para
. Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Resposta
A solução do PVI é:
Com a condição inicial
, determinamos o valor de
e finalizamos a expressão de
.
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