Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Bernoulli, que é uma forma especial de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição que transforma a equação em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos
,
e
.
Passo 3
Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Como
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Rearranjando a derivada de
, temos:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Passo 7
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 8
Agora, temos uma equa�o linear em termos de
:
Passo 9
Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 10
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 11
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito é conhecida:
Passo 12
Resolvendo para
:
Passo 13
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.