y' + 2 t y = t y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é conhecida como Equação de Bernoulli, que é uma forma especial de equação diferencial não linear. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição que transforma a equação em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos , e .

Passo 3

Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Como , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Rearranjando a derivada de , temos:

Passo 6

Substituímos na equação original:

Passo 7

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Lembrando que , substituímos:

Passo 8

Agora, temos uma equa�o linear em termos de :

Passo 9

Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 10

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 11

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito é conhecida:

Passo 12

Resolvendo para :

Passo 13

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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y' + 5y = e^(5t)
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' tg(x) = y - 1
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - y = 1 - x
y' + y/t = 3t + 4 Res.: y = t^2 + 2t + C/t