Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação diferencial
. Isso envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma técnica para simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Vamos focar na integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A integral restante é:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Voltando à nossa equação, temos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Marque abaixo a Equação Diferencial de
ordem que é separável.
a) ;
a)