Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - y = 1 - x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação diferencial . Isso envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma técnica para simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Vamos focar na integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A integral restante é:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Voltando à nossa equação, temos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

y' + 2 t y = t y^2
y' + 5y = e^(5t)
y' + y/t = 3t + 4 Res.: y = t^2 + 2t + C/t
Marque abaixo a Equação Diferencial de 1^a ordem que é separável.
a) dy/dx = (x^3 - y) / (2x + cos(y));