Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica que facilita a resolução dessas equações. Precisamos encontrar esse fator e aplicar na equação para isolarmos
.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Repetimos a integração por partes para
seguindo os mesmos passos, e eventualmente encontramos a integral completa.
Passo 7
Após resolver a integral, substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva o PVI:
.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.