Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - 4y = 2x - 4x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica que facilita a resolução dessas equações. Precisamos encontrar esse fator e aplicar na equação para isolarmos .

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica o lado esquerdo para a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos integração por partes, onde escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Repetimos a integração por partes para seguindo os mesmos passos, e eventualmente encontramos a integral completa.

Passo 7

Após resolver a integral, substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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