d/y dt = e^t - y Res.: y = e^t / 2 + C e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a aplicação do método do fator integrante. A equação original é:
Aqui, colocamos o termo y no lado esquerdo junto com .

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão:
Onde:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :
Isso simplifica muito a resolução!

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a t:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá .

Passo 8

Resolvendo a integral do lado direito:
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Então, temos:
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^t:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - 4y = 2x - 4x^2
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 2y = cos(x)