Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a aplicação do método do fator integrante. A equação original é:
Aqui, colocamos o termo
no lado esquerdo junto com
.
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão:
Onde:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Isso simplifica muito a resolução!
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
.
Passo 8
Resolvendo a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Então, temos:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
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